PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT TINGKAT SMK / SMA/ MA

              

PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

A. Pertidaksamaan linier

     Pertidaksamaan linear merupakan kalimat terbuka dalam matematika yang terdiri dari variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan. Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu :

     ax+by>c

                                                ax+by<c

                                                ax+by≥c

                                                ax+by≤c

dengan a koefisien untuk x, b koefisien dari y dan c konstanta dimana a,b,c anggota bilangan riil dan a≠0,b≠0 .

Cara menyelesaikan pertidaksamaan linear:

Suatu penyelesaian dari pertidaksamaan linear biasanya digambarkan dengan grafik, adapun langkah-langkah dalam menggambar grafik pertidaksamaan linear yaitu sebagai berikut :

1. Ubah tanda ketidaksamaan menjadi persamaan

2. Tentukan titik potong koordinat kartesius dengan sumbu x dan sumbu y.

3. Gunakan titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian.

4. Gambarkan grafiknya dan beri arsiran pada daerah penyelesaiannya.

Contoh

Gambarlah pada bidang cartesius, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x + 2y ≤ 6 untuk dan y ϵ

Pembahasan :

   Pertama kita gambar garis x + 2y =6. Untuk x = 0 maka akan diperoleh y = 3 sehingga diperoleh titik (0,3). Untuk y = 0 maka nilai x = 6 sehingga diperoleh titik (6,0). Lukis pada bidang kartesius dengan menghubungkan titik (0,3) dan (6,0)

  Garis tersebut membagi bidang cartesius menjadi dua bagian, masing masing merupakan daerah penyelesaian  x + 2y < 6 dan x + 2y > 6. Untuk menentukan belahan bidang yang merupakan penyelesaian dari soal diatas, ambil sembarang titik untuk di uji. Misalnya kita ambil titik (0,0)sebagai titik uji sehingga akan menjadi :

  0 + 2. (0) < 6

  0 + 0 < 6

  0 < 6 (benar)

  Karena pernyataan itu benar maka titik (0,0) adalah sebuah daerah penyelesaian x + 2y < 6. Dengan demikian himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x + 2y ≤ 6 adalah himpunan titik pada garis x + 2y =6 dan pada belahan yang memuat titik (0,0) sehingga himpunan penyelesaiannya diberikan pada gambar merupakan daerah yang bersih (tidak diarsir).

B. Pertidaksamaan kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat paling tinggi 2. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dalam x dapat dinyatakan dengan salah satu bentuk di bawah ini :

    ax² + bx + c > 0

    ax²+ bx + c ≥ 0

    ax²+ bx + c < 0

    ax²+ bx + c ≤ 0

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat

a. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat.

    Langkah-langkah:

    Memilih bagian grafik yang sesuai dengan pertidaksamaan kuadrat yang akan diselesaikan.

   1. Tentukan nilai a (ke mana parabola  terbuka).

   2. Tentukan titik potong dengan sumbu X.

   3. Menggambar sketsa grafiknya.

b.Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan

   Langkah-langkah :

1. Menentukan pembuat nol dari ruas kiri pertidaksamaan.
2. Membuat garis bilangan beserta pembuat-pembuat nol  ruas kiri.
3. Menentukan tanda dari nilai ax2 + bx + c pada masing- masing interval dengan cara mengambil titik-titik uji yang sesuai.
4. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan yang diberikan dengan memilih tanda pada interval yang sesuai.

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan  x²– 3x – 10 > 0.

 Jawab :
x²– 3x – 10 > 0 atau
y =  – 3x – 10
(a > 0) , maka parabola terbuka ke atas,memotong sumbu X jika y = 0, maka
x²– 3x – 10 = 0
(x – 5)(x + 2) = 0
x = 5 atau x = -2
Jadi parabola memotong sumbu X di (-2 , 0) dan (5 , 0)
Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik
pada bagian grafik yang terletak di atas sumbu X adalah:
x < -2
x > 5
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah :
{ x / x < -2 atau x > 5 }
Daerah himpunan penyelesaian HP = { x / x < -2 atau x > 5 }

Evaluasi

1. Tentukan penyelesaian daripertidaksamaan 2x + 4 < 0

2.  Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x²  - 5x + 4 > 0