deret aritmatika terbaru sma / smk / ma / mts / smp terbaru

                  

A.       Deret Aritmetika

1.       Definisi

2.       Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan D .

Dengan demikian, D_n  = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n  . Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus D_n , perhatikan contoh berikut :

Contoh 1 :

Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.

Jawab:

        Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskansebagai berikut.

                        D₅ = 2 + 5 + 8 + 11 + 14

                        D₅ = 14 + 11 + 8 + 5 + 2

          

                     2D₅  = 16 + 16 + 16 + 16 + 16

                      2D₅ = 5 x 16

                        D₅  =                                       D₅  = 40

       

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

Menentukan rumus umum untuk D  sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah

D_n = U₁ + U₂ + U₃ + …+U_n-2 + U_n-1 + U_n.

Dapat dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya.

        U_n-1   = U_n – b

        U_n-2   = U_n-1 – b = U_n  – 2b

        U_n-3    = U_n-2 – b = U_n  – 3b

Demikian seterusnya sehingga D_n  dapat dituliskan

D_n= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (U_n-2b) + (U_n-b) + U_n…(1)      

Persamaan 1 dapat ditulis dengan urutan terbalik sebagai berikut:

D_n= U_n+ (U_n – b)+(U_n – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a …(2)

Jumlahkan Persamaan (1) dan (2) didapatkan

D_n= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (U_n-2b) + (U_n-b) + U_n

D_n= U_n+ (U_n – b)+(U_n – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a

2D_n = (a + U_n ) + (a + U_n )+ (a + U_n) + ... + (a + U_n)

                                       

                                                        n suku

Dengan demikian, 2D_n = n(a + U_n )

      D_n  = (1/2)  n(a + U_n )

      D_n  = (1/2)  n(a + (a + (n – 1)b))

      D_n  = (1/2)  n(2a + (n – 1)b)

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah

   D_n  = (1/2)  n(a + U_n )

    D_n  = (1/2)  n(2a + (n – 1)b)

Keterangan:

                                        D_n = jumlah n suku pertama

                                        a = suku pertama

                                        b = beda

                                        U_n = suku ke-n

                                        n = banyak suku

Contoh 2:

Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 +....

Jawab:

Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.

D₁₀₀    =     x 100 {2(2) + (100 – 1)2}

      = 50 {4 + 198}

      = 50 (202)

      = 10.100

Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100.

Contoh 3:

Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.

Jawab:

Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh

a = 3, b = 3, dan U_n  = 99.

Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;

                U_n  = a + (n – 1)b

    99 = 3 + (n – 1)3

    3n = 99

      n = 33

Jumlah dari deret tersebut adalah

D_n   =     n (a + U  )

D₃₃   =     x 33(3 + 99)

     = 1.683

Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.683

Soal – soal

1.       Carilah suku ke – 20 dari barisan aritmatika, 3, 8, 13, 18, …

2.       Carilah suku ke – 27 pada setiap barisan aritmatika berikut ini :

                a. 3, 7, 11, …                        b. 15, 13, 11, 9, …

                c. -8, -4, 0, 4, …  d. -6, -1, 4, 9, …

3.       Suku ke -3 dan suku ke -16 dari barisan aritmatika adalah 13 dan 78. Tentukanlah suku pertama dan bedanya. Berapakah U_n dan D_n

4.       Terdapat 60 suku dalam barisan aritmatika yang mana suku pertama  adalah 9 dan suku terakhir adalah 27. Tentukan U_n dan D_n

5.       . Carilah jumlah dari

a.       . 40 bilangan bulat positif ganjil yang pertama

b.        25 bilangan bulat positif genap yang pertama

c.         60 bilangan bulat positif yang pertama