Barisan aritmatika tingkat smp / mts / sma / ma / smk terbaru

      A.     Barisan Aritmetika

      1.       Definisi

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).

2.       Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b.

3.       Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini.

                                a. 1, 4, 7, 10, 13, ...

                                b. 2, 8, 14, 20, ...                                 

                                                                                      c. 30, 25, 20, 15, ...

Contoh :

a.       1, 4, 7, 10, 13, ...

  +3    +3     +3         +3

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3.

b.      2, 8, 14, 20, ...

 +6    +6     +6

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c.       30, 25, 20, 15, ...

   –5      –5      –5

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5.

               

Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.

Jika U_n adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = U_n – U_{n – 1}.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.

U₁  = a

                U₂  = U₁ + b = a + b

                U₃  = U₂  + b = (a + b) + b = a + 2b

                U₄  = U₃  + b = (a + 2b) + b = a + 3b

                U₅  = U₄  + b = (a + 3b) + b = a + 4b

                  .

                  .

                  .

                U_n  = U_n-1   + b = a + (n – 1)b

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah  U_n  = a + (n – 1)b

Keterangan: U_n = suku ke-n

                          a = suku pertama

                          b = beda

                           n = banyak suku

Contoh 1 :

Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....

Jawab:

                –3, 2, 7, 12, …

Suku pertama adalah a = –3 dan

bedanya  b = 2 – (–3) = 5.

Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh :

                                U_n = –3 + (n – 1)5.

Suku ke-8 : U₈  = –3 + (8 – 1)5 = 32.

Suku ke-20 : U₂₀  = –3 + (20 – 1)5 = 92.

Contoh 2 :

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.

Jawab:

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.

Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3,dan

                U_n = 40.

Rumus suku ke-n adalah U_n = a + (n – 1)b sehingga;

                40 = –2 + (n – 1)3

                40 = 3n – 5

                3n = 45

Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.

Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.